Упр.43.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В какой точке касательная к графику функции $$y=x^2$$ параллельна заданной прямой: а) $$y=2x+1$$; б) $$y=-\frac{1}{2}x+5$$; в) $$y=\frac{3}{4}x-2$$; г) $$y=-x+5$$?

Прямая, параллельная касательной к графику функции $$y=x^2,$$ должна иметь такой же угловой коэффициент, как и касательная. Для функции $$y=x^2$$ производная равна

$$y’=(x^2)’=2x.$$

Значит, в точке касания угловой коэффициент касательной равен $$2x$$ и его нужно приравнять к угловому коэффициенту заданной прямой.

Ход решения

1. Для $$y=2x+1$$ имеем $$k=2$$.

   $$2x=2 \Rightarrow x=1.$$

   Точка касания: $$\left(1;1\right).$$

2. Для $$y=-\frac12x+5$$ имеем $$k=-\frac12$$.

   $$2x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac14.$$

   Точка касания: $$\left(-\frac14;\frac1{16}\right).$$

3. Для $$y=\frac34x-2$$ имеем $$k=\frac34$$.

   $$2x=\frac34 \Rightarrow x=\frac38.$$

   Точка касания: $$\left(\frac38;\frac{9}{64}\right).$$

4. Для $$y=-x+5$$ имеем $$k=-1$$.

   $$2x=-1 \Rightarrow x=-\frac12.$$

   Точка касания: $$\left(-\frac12;\frac14\right).$$

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=-\frac14$$; в) $$x=\frac38$$; г) $$x=-\frac12$$.