Упр.43.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$, если:
   а) $$f(x)=x^3-2x^2+3$$, $$a=-1$$;
   б) $$f(x)=\frac{x-1}{x+3}$$, $$a=1$$;
   в) $$f(x)=x^4-7x^3+12x^2-45$$, $$a=0$$;
   г) $$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$$, $$a=1$$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: $$k=f'(a).$$

1. $$f(x)=x^3-2x^2+3,\quad a=-1.$$

   $$f'(x)=3x^2-4x.$$

   $$f'(-1)=3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)=3+4=7.$$

   $$k=7.$$

2. $$f(x)=\frac{x-1}{x+3},\quad a=1.$$

   $$f'(x)=\frac{(x-1)'(x+3)-(x-1)(x+3)’}{(x+3)^2}=\frac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)^2}=\frac{4}{(x+3)^2}.$$

   $$f'(1)=\frac{4}{(1+3)^2}=\frac{4}{16}=\frac14.$$

   $$k=\frac14.$$

3. $$f(x)=x^4-7x^3+12x-45,\quad a=0.$$

   $$f'(x)=4x^3-21x^2+12.$$

   $$f'(0)=4\cdot 0^3-21\cdot 0^2+12=12.$$

   $$k=12.$$

4. $$f(x)=\frac{2x-1}{x+1},\quad a=1.$$

   $$f'(x)=\frac{(2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}.$$

   $$f'(1)=\frac{3}{(1+1)^2}=\frac{3}{4}.$$

   $$k=\frac34.$$

Ответ: а) $$7$$; б) $$\frac14$$; в) $$12$$; г) $$\frac34$$.