Упр.43.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Напишите уравнения касательных к графику функции $$y=f(x)$$ в точках его пересечения с осью абсцисс, если: а) $$f(x)=9-x^2$$; б) $$f(x)=x^3-27$$; в) $$f(x)=x^3-4x$$; г) $$f(x)=x^3-x^4$$.
Для касательной к графику функции в точке с абсциссой $$a$$ используем формулу
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
$$f(x)=9-x^2.$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$9-x^2=0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
$$f'(x)=-2x.$$
При $$a=-3$$:
$$f'(-3)=6,\quad y=0+6(x+3)=6x+18.$$
При $$a=3$$:
$$f'(3)=-6,\quad y=0-6(x-3)=-6x+18.$$
$$f(x)=x^3-27.$$
Найдём точку пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^3-27=0 \Rightarrow x^3=27 \Rightarrow x=3.$$
$$f'(x)=3x^2.$$
При $$a=3$$:
$$f'(3)=27,\quad y=0+27(x-3)=27x-81.$$
$$f(x)=x^3-4x.$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^3-4x=0 \Rightarrow x(x^2-4)=0 \Rightarrow x(x-2)(x+2)=0.$$
Отсюда $$x=-2,\;0,\;2.$$
$$f'(x)=3x^2-4.$$
При $$a=-2$$:
$$f'(-2)=8,\quad y=0+8(x+2)=8x+16.$$
При $$a=0$$:
$$f'(0)=-4,\quad y=0-4(x-0)=-4x.$$
При $$a=2$$:
$$f'(2)=8,\quad y=0+8(x-2)=8x-16.$$
$$f(x)=x^3-x^4.$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^3-x^4=0 \Rightarrow x^3(1-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$
$$f'(x)=3x^2-4x^3.$$
При $$a=0$$:
$$f'(0)=0,\quad y=0.$$
При $$a=1$$:
$$f'(1)=-1,\quad y=0-(x-1)=1-x.$$
Ответ: а) $$y=6x+18,$$ $$y=-6x+18;$$ б) $$y=27x-81;$$ в) $$y=8x+16,$$ $$y=-4x,$$ $$y=8x-16;$$ г) $$y=0,$$ $$y=1-x.$$
