Упр.43.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$f(x)=\sin^3 2x,\quad a=\frac{\pi}{12}$$;
   б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\operatorname{arctg} 3x},\quad a=\frac{1}{3}$$;
   в) $$f(x)=\cos^2 2x,\quad a=\frac{\pi}{8}$$;
   г) $$f(x)=2\operatorname{arcctg}(3x^2)+3\operatorname{arctg}(2x^3),\quad a=0$$.

Уравнение касательной имеет вид:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$

где $$a$$ — абсцисса точки касания.

а)

$$f(x)=\sin^3 2x,\quad a=\frac{\pi}{12}.$$

Найдём значение функции и производную в точке $$a$$:

$$f\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sin^3\frac{\pi}{6}=\left(\frac12\right)^3=\frac18,$$

$$f'(x)=3\sin^2 2x\cdot 2\cos 2x=6\sin^2 2x\cos 2x,$$

$$f’\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=6\sin^2\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}=6\cdot\left(\frac12\right)^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}.$$

Тогда

$$y=\frac18+\frac{3\sqrt3}{4}\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3\sqrt3}{4}x+\frac18-\frac{\pi\sqrt3}{16}.$$

б)

$$f(x)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\arctg 3x},\quad a=\frac13.$$

Вычислим:

$$f\!\left(\frac13\right)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\arctg 1}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{4}}=2.$$

Производная:

$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\arctg 3x}}\cdot \frac{3}{1+9x^2} =\frac{6}{\sqrt{\pi\,\arctg 3x}\,(1+9x^2)}.$$

Тогда

$$f’\!\left(\frac13\right)=\frac{6}{\sqrt{\pi\cdot \frac{\pi}{4}}\,(1+1)}=\frac{6}{\frac{\pi}{2}\cdot 2}=\frac{6}{\pi}.$$

Следовательно,

$$y=2+\frac{6}{\pi}\left(x-\frac13\right)=\frac{6}{\pi}x+2-\frac{2}{\pi}.$$

в)

$$f(x)=\cos^2 2x,\quad a=\frac{\pi}{8}.$$

Имеем:

$$f\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\cos^2\frac{\pi}{4}=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12,$$

$$f'(x)=2\cos 2x\cdot(-2\sin 2x)=-4\sin 2x\cos 2x=-2\sin 4x,$$

$$f’\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=-2\sin\frac{\pi}{2}=-2.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=\frac12-2\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=-2x+\frac12+\frac{\pi}{4}.$$

г)

$$f(x)=2\operatorname{arcctg}(3x^2)+3\arctg(2x^3),\quad a=0.$$

Найдём значение функции:

$$f(0)=2\operatorname{arcctg}0+3\arctg 0=\pi+0=\pi.$$

Производная:

$$\bigl(\operatorname{arcctg}u\bigr)’=-\frac{u’}{1+u^2},\qquad (\arctg u)’=\frac{u’}{1+u^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=2\left(\operatorname{arcctg}(3x^2)\right)’+3\left(\arctg(2x^3)\right)’$$

$$f'(x)=-2\cdot \frac{6x}{1+9x^4}+3\cdot \frac{6x^2}{1+4x^6} =-\frac{12x}{1+9x^4}+\frac{18x^2}{1+4x^6}.$$

Следовательно,

$$f'(0)=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=\pi+0\cdot(x-0)=\pi.$$

Ответ

а) $$y=\frac{3\sqrt3}{4}x+\frac18-\frac{\pi\sqrt3}{16}$$; б) $$y=\frac{6}{\pi}x+2-\frac{2}{\pi}$$; в) $$y=-2x+\frac12+\frac{\pi}{4}$$; г) $$y=\pi$$.