Упр.43.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$f(x)=\arccos 3x+2x,\quad a=0$$;

б) $$f(x)=3x^2-0{,}2\arcsin 5x,\quad a=0$$;

в) $$f(x)=2\operatorname{arctg}x+3\sqrt{x},\quad a=1$$;

г) $$f(x)=\frac{1}{x}-5\operatorname{arcctg}2x,\quad a=1$$.

Подробный ответ

Уравнение касательной имеет вид $$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$ где $$a$$ — абсцисса точки касания.

$$f(x)=\arccos 3x+2x,\quad a=0.$$
$$f(0)=\arccos 0+0=\frac{\pi}{2}.$$
$$f'(x)=\left(\arccos 3x\right)’+(2x)’=-\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}+2.$$
$$f'(0)=-\frac{3}{\sqrt{1-9\cdot 0^2}}+2=-3+2=-1.$$
$$y=\frac{\pi}{2}-1\cdot(x-0)=\frac{\pi}{2}-x.$$
$$f(x)=3x^2-0{,}2\arcsin 5x,\quad a=0.$$
$$f(0)=3\cdot 0^2-0{,}2\arcsin 0=0.$$
$$f'(x)=(3x^2)’-0{,}2(\arcsin 5x)’=6x-0{,}2\cdot \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}=6x-\frac{1}{\sqrt{1-25x^2}}.$$
$$f'(0)=6\cdot 0-\frac{1}{\sqrt{1-25\cdot 0^2}}=-1.$$
$$y=0-1\cdot(x-0)=-x.$$
$$f(x)=2\arctg x+3\sqrt{x},\quad a=1.$$
$$f(1)=2\arctg 1+3\sqrt{1}=2\cdot \frac{\pi}{4}+3=\frac{\pi}{2}+3.$$
$$f'(x)=2(\arctg x)’+3(\sqrt{x})’=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}{2\sqrt{x}}.$$
$$f'(1)=\frac{2}{1+1^2}+\frac{3}{2\sqrt{1}}=1+\frac{3}{2}=2{,}5.$$
$$y=\frac{\pi}{2}+3+2{,}5(x-1)=2{,}5x+0{,}5+\frac{\pi}{2}.$$
$$f(x)=\frac{1}{x}-5\operatorname{arcctg} 2x,\quad a=1.$$
$$f(1)=\frac{1}{1}-5\operatorname{arcctg} 2=1-5\operatorname{arcctg} 2.$$
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’-5(\operatorname{arcctg} 2x)’=-\frac{1}{x^2}+\frac{10}{1+4x^2}.$$
$$f'(1)=-\frac{1}{1^2}+\frac{10}{1+4\cdot 1^2}=-1+2=1.$$
$$y=1-5\operatorname{arcctg} 2+1\cdot(x-1)=x-5\operatorname{arcctg} 2.$$