Упр.43.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Уравнение касательной имеет вид $$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$ где $$a$$ — абсцисса точки касания.

1. $$f(x)=\cos \frac{x}{3}, \quad a=0.$$

   $$f(0)=\cos 0=1,$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}, \quad f'(0)=-\frac{1}{3}\sin 0=0.$$

   Тогда

   $$y=1+0\cdot(x-0)=1.$$

2. $$f(x)=\ctg 2x, \quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg \frac{\pi}{2}=0,$$

   $$f'(x)=-\frac{2}{\sin^2 2x}, \quad f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{2}}=-2.$$

   Следовательно,

   $$y=0-2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}-2x.$$

3. $$f(x)=\sin 2x, \quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{2}=1,$$

   $$f'(x)=2\cos 2x, \quad f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cos \frac{\pi}{2}=0.$$

   Тогда

   $$y=1+0\cdot\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

4. $$f(x)=2\tg \frac{x}{3}, \quad a=0.$$

   $$f(0)=2\tg 0=0,$$

   $$f'(x)=2\cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3\cos^2 \frac{x}{3}}, \quad f'(0)=\frac{2}{3}.$$

   Следовательно,

   $$y=0+\frac{2}{3}(x-0)=\frac{2}{3}x.$$

Ответ: а) $$y=1$$; б) $$y=\frac{\pi}{2}-2x$$; в) $$y=1$$; г) $$y=\frac{2}{3}x$$.