Упр.43.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{3x-2}{3-x},\ a=2$$; б) $$f(x)=\frac{1}{(x+2)^3},\ a=-3$$; в) $$f(x)=\frac{2x-5}{5-x},\ a=4$$; г) $$f(x)=\frac{1}{4(2x-1)^2},\ a=1$$.
Используем формулу касательной:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
$$f(x)=\frac{3x-2}{3-x}, \quad a=2.$$
$$f(2)=\frac{3\cdot 2-2}{3-2}=4.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(3x-2)'(3-x)-(3x-2)(3-x)’}{(3-x)^2}=\frac{3(3-x)-(3x-2)(-1)}{(3-x)^2}=\frac{7}{(3-x)^2}.$$
$$f'(2)=\frac{7}{(3-2)^2}=7.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=4+7(x-2)=7x-10.$$
$$f(x)=\frac{1}{(x+2)^3}, \quad a=-3.$$
$$f(-3)=\frac{1}{(-3+2)^3}=-1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left((x+2)^{-3}\right)’=-3(x+2)^{-4}=-\frac{3}{(x+2)^4}.$$
$$f'(-3)=-\frac{3}{(-3+2)^4}=-3.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=-1-3(x+3)=-3x-10.$$
$$f(x)=\frac{2x-5}{5-x}, \quad a=4.$$
$$f(4)=\frac{2\cdot 4-5}{5-4}=3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x-5)'(5-x)-(2x-5)(5-x)’}{(5-x)^2}=\frac{2(5-x)-(2x-5)(-1)}{(5-x)^2}=\frac{5}{(5-x)^2}.$$
$$f'(4)=\frac{5}{(5-4)^2}=5.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=3+5(x-4)=5x-17.$$
$$f(x)=\frac{1}{4(2x-1)^2}, \quad a=1.$$
$$f(1)=\frac{1}{4(2\cdot 1-1)^2}=\frac14.$$
Найдём производную:
$$f(x)=\frac14(2x-1)^{-2},$$
$$f'(x)=\frac14\cdot(-2)(2x-1)^{-3}\cdot 2=-\frac{1}{(2x-1)^3}.$$
$$f'(1)=-\frac{1}{(2\cdot 1-1)^3}=-1.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y=\frac14-(x-1)=\frac54-x.$$
Ответ: а) $$y=7x-10$$; б) $$y=-3x-10$$; в) $$y=5x-17$$; г) $$y=\frac54-x$$.
