Упр.43.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$f(x)=|2x-x^2|,\quad a=1$$; б) $$f(x)=|x^2-3x-4|,\quad a=-2$$; в) $$f(x)=|x^2+4x|,\quad a=-3$$; г) $$f(x)=|x^2-3x-4|,\quad a=-1$$.
а) $$f(x)=|2x-x^2|,\quad a=1.$$
Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:
$$2x-x^2\ge 0$$
$$x(2-x)\ge 0$$
$$0\le x\le 2.$$
Тогда
$$f(x)= \begin{cases} 2x-x^2, & 0\le x\le 2,\\ x^2-2x, & x<0 \text{ или } x>2. \end{cases}$$
Производная на участке $$0\le x\le 2$$:
$$f'(x)=2-2x.$$
$$f'(1)=2-2\cdot 1=0.$$
Следовательно, $$\tan\varphi=0,$$ значит $$\varphi=\arctan 0=0.$$
б) $$f(x)=|x^2-3x-4|,\quad a=-2.$$
Найдём нули выражения под модулем:
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2},\quad x_1=-1,\; x_2=4.$$
Значит,
$$x^2-3x-4\ge 0 \text{ при } x\le -1 \text{ или } x\ge 4,$$
и
$$f(x)= \begin{cases} x^2-3x-4, & x\le -1 \text{ или } x\ge 4,\\ -x^2+3x+4, & -1<x<4. \end{cases}$$
Так как $$a=-2<-1,$$ то
$$f'(x)=2x-3,$$
$$f'(-2)=2\cdot(-2)-3=-7.$$
Следовательно,
$$\tan\varphi=-7,\qquad \varphi=-\arctan 7\approx -81{,}87^\circ.$$
в) $$f(x)=|x^2+4x|,\quad a=-3.$$
Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:
$$x^2+4x\ge 0$$
$$x(x+4)\ge 0$$
$$x\le -4 \text{ или } x\ge 0.$$
Тогда
$$f(x)= \begin{cases} x^2+4x, & x\le -4 \text{ или } x\ge 0,\\ -x^2-4x, & -4<x<0. \end{cases}$$
Так как $$a=-3\in(-4,0),$$ то
$$f'(x)=-2x-4.$$
$$f'(-3)=-2\cdot(-3)-4=2.$$
Следовательно,
$$\tan\varphi=2,\qquad \varphi=\arctan 2\approx 63{,}43^\circ.$$
г) $$f(x)=|x^2-3x-4|,\quad a=-1.$$
Как и в пункте б),
$$x^2-3x-4=0 \Rightarrow x=-1,\;4,$$
поэтому
$$f(x)= \begin{cases} x^2-3x-4, & x\le -1 \text{ или } x\ge 4,\\ -x^2+3x+4, & -1<x<4. \end{cases}$$
В точке $$x=-1$$ производные слева и справа различны:
$$f’_-(x)=2x-3,\qquad f’_+ (x)=-2x+3.$$
$$f’_-( -1)=2\cdot(-1)-3=-5,$$
$$f’_+( -1)=-2\cdot(-1)+3=5.$$
Так как $$f’_-( -1)\ne f’_+( -1),$$ производная в точке $$a=-1$$ не существует.
Ответ
а) $$0$$; б) $$-\arctan 7\approx -81{,}87^\circ$$; в) $$\arctan 2\approx 63{,}43^\circ$$; г) производная не существует.
