Упр.43.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\sqrt{3}\cos\frac{x}{3}, \quad a=\frac{3\pi}{2}.$$

Пусть $$u=\frac{x}{3},$$ тогда $$f(x)=\sqrt{3}\cos u.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{3}(\cos u)’\cdot\left(\frac{x}{3}\right)’=-\sqrt{3}\sin u\cdot\frac13=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{x}{3}.$$

Подставим $$x=a=\frac{3\pi}{2}:$$

$$f'(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{3\pi/2}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{\pi}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$\tan\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \varphi=-\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6}.$$

б) $$f(x)=\frac12\sin 2x, \quad a=\frac{\pi}{2}.$$

Пусть $$u=2x,$$ тогда $$f(x)=\frac12\sin u.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac12(\sin u)’\cdot(2x)’=\frac12\cos u\cdot 2=\cos 2x.$$

Подставим $$x=a=\frac{\pi}{2}:$$

$$f'(a)=\cos\pi=-1.$$

Тогда

$$\tan\varphi=-1, \quad \varphi=-\arctan 1=-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{4}.$$