Упр.43.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производную и значение производной в указанной точке, затем используем формулу $$\tan \varphi=f'(a).$$

а)

$$f(x)=\frac{2x-1}{3-2x}, \qquad a=\frac12.$$

По формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(2x-1)'(3-2x)-(2x-1)(3-2x)’}{(3-2x)^2}.$$

Так как $$(2x-1)’=2, \qquad (3-2x)’=-2,$$ то

$$f'(x)=\frac{2(3-2x)-(2x-1)(-2)}{(3-2x)^2} =\frac{6-4x+4x-2}{(3-2x)^2} =\frac{4}{(3-2x)^2}.$$

Тогда

$$f’\!\left(\frac12\right)=\frac{4}{\left(3-2\cdot \frac12\right)^2} =\frac{4}{(3-1)^2} =\frac{4}{4}=1.$$

Следовательно,

$$\tan \varphi=1 \Rightarrow \varphi=\arctan 1=\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$

б)

$$f(x)=\frac{x-1}{x-2}, \qquad a=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(x-1)'(x-2)-(x-1)(x-2)’}{(x-2)^2}.$$

Так как $$(x-1)’=1, \qquad (x-2)’=1,$$ то

$$f'(x)=\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} =\frac{-1}{(x-2)^2}.$$

Тогда

$$f'(1)=\frac{-1}{(1-2)^2}=-1.$$

Следовательно,

$$\tan \varphi=-1 \Rightarrow \varphi=-\arctan 1=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$$

Ответ

а) $$45^\circ$$; б) $$-45^\circ$$.