Упр.43.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Какой угол образует с осью $$x$$ касательная, проведенная к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:
а) $$f(x)=x^2$$, $$a=0{,}5$$;
б) $$f(x)=-3x^3$$, $$a=\frac{1}{3}$$;
в) $$f(x)=0{,}2x^5$$, $$a=-1$$;
г) $$f(x)=-0{,}25x^4$$, $$a=0$$.
Угол наклона касательной к оси $$x$$ находим по формуле $$\tan \varphi = f'(a).$$
$$f(x)=x^2,\quad a=0{,}5.$$
$$f'(x)=2x,\qquad f'(0{,}5)=2\cdot 0{,}5=1.$$
Тогда $$\tan \varphi =1,$$ значит $$\varphi=\arctan 1=\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$
$$f(x)=-3x^3,\quad a=\frac13.$$
$$f'(x)=-9x^2,\qquad f’\!\left(\frac13\right)=-9\cdot \left(\frac13\right)^2=-1.$$
Тогда $$\tan \varphi =-1,$$ значит $$\varphi=-\arctan 1=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$$
$$f(x)=0{,}2x^5,\quad a=-1.$$
$$f'(x)=0{,}2\cdot 5x^4=x^4,\qquad f'(-1)=(-1)^4=1.$$
Тогда $$\tan \varphi =1,$$ значит $$\varphi=\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$
$$f(x)=-0{,}25x^4,\quad a=0.$$
$$f'(x)=-0{,}25\cdot 4x^3=-x^3,\qquad f'(0)=0.$$
Тогда $$\tan \varphi =0,$$ значит $$\varphi=0.$$
Ответ: а) $$45^\circ$$; б) $$-45^\circ$$; в) $$45^\circ$$; г) $$0.$$
