Упр.43.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Какой угол образует с осью $$x$$ касательная, проведённая к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:
а) $$f(x)=4+x^2$$, $$a=2$$;
б) $$f(x)=1-\frac{1}{x}$$, $$a=3$$;
в) $$f(x)=(1-x)^3$$, $$a=-3$$;
г) $$f(x)=2x-x^3$$, $$a=1$$?
Угол наклона касательной к оси $$x$$ определяется по формуле $$\tan \varphi = f'(a).$$
$$f(x)=4+x^2,\quad a=2.$$
$$f'(x)=2x,\qquad f'(2)=4.$$
Значит, $$\tan \varphi = 4,$$ откуда $$\varphi=\arctg 4 \approx 75{,}96^\circ.$$
$$f(x)=1-\frac{1}{x},\quad a=3.$$
$$f'(x)=\frac{1}{x^2},\qquad f'(3)=\frac{1}{9}.$$
Следовательно, $$\tan \varphi = \frac{1}{9},$$ значит $$\varphi=\arctg \frac{1}{9}\approx 6{,}34^\circ.$$
$$f(x)=(1-x)^3,\quad a=-3.$$
$$f'(x)=-3(1-x)^2,\qquad f'(-3)=-3(1+3)^2=-48.$$
Тогда $$\tan \varphi = -48,$$ поэтому $$\varphi=-\arctg 48 \approx -88{,}81^\circ.$$
$$f(x)=2x-x^3,\quad a=1.$$
$$f'(x)=2-3x^2,\qquad f'(1)=2-3=-1.$$
Значит, $$\tan \varphi = -1,$$ откуда $$\varphi=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$$
Ответ: а) $$\arctg 4 \approx 75{,}96^\circ$$; б) $$\arctg \frac{1}{9}\approx 6{,}34^\circ$$; в) $$-\arctg 48 \approx -88{,}81^\circ$$; г) $$-\frac{\pi}{4}=-45^\circ$$.
