Упр.43.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$f(x)=\left|x^2-5x+6\right|,\quad x_1=0,\quad x_2=2{,}5,\quad x_3=4$$;
• б) $$f(x)=\left|-x^2+2x+3\right|,\quad x_1=-2,\quad x_2=1,\quad x_3=2$$.

Найдём производную функции в указанных точках, предварительно раскрыв модуль по знаку выражения под ним.

а)

$$f(x)=|x^2-5x+6|$$

Решим уравнение $$x^2-5x+6=0$$:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,$$

откуда $$x=2$$ и $$x=3.$$

Тогда

$$x^2-5x+6\ge 0 \text{ при } x\le 2 \text{ или } x\ge 3,$$

а значит

$$f(x)= \begin{cases} x^2-5x+6, & x\le 2 \text{ или } x\ge 3,\\ -x^2+5x-6, & 2<x<3. \end{cases}$$

Следовательно,

$$f'(x)= \begin{cases} 2x-5, & x<2 \text{ или } x>3,\\ -2x+5, & 2<x<3. \end{cases}$$

Вычислим значения:

$$f'(0)=2\cdot 0-5=-5,$$

$$f'(2{,}5)=-2\cdot 2{,}5+5=0,$$

$$f'(4)=2\cdot 4-5=3.$$

б)

$$f(x)=|-x^2+2x+3|$$

Решим уравнение $$-x^2+2x+3=0$$:

$$x^2-2x-3=0,$$

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0,$$

откуда $$x=-1$$ и $$x=3.$$

Тогда

$$-x^2+2x+3\ge 0 \text{ при } -1\le x\le 3,$$

а значит

$$f(x)= \begin{cases} -x^2+2x+3, & -1\le x\le 3,\\ x^2-2x-3, & x<-1 \text{ или } x>3. \end{cases}$$

Следовательно,

$$f'(x)= \begin{cases} -2x+2, & -1<x<3,\\ 2x-2, & x<-1 \text{ или } x>3. \end{cases}$$

Вычислим значения:

$$f'(-2)=2\cdot(-2)-2=-6,$$

$$f'(1)=-2\cdot 1+2=0,$$

$$f'(2)=-2\cdot 2+2=-2.$$

Ответ

а) $$-5,\ 0,\ 3$$; б) $$-6,\ 0,\ -2$$.