Упр.42.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение производной функции в точке $$x_0$$:
   а) $$y=(3x-2)^7$$, $$x_0=3$$;
   б) $$y=\sqrt{25-9x}$$, $$x_0=1$$;
   в) $$y=(4-5x)^7$$, $$x_0=1$$;
   г) $$y=\sqrt{7x+4}$$, $$x_0=3$$.

a) Пусть $$u=3x-2,$$ тогда $$y=u^7.$$

По правилу производной сложной функции:

$$y’=(u^7)’ \cdot (3x-2)’=7u^6\cdot 3=21(3x-2)^6.$$

Тогда

$$y'(3)=21(3\cdot 3-2)^6=21\cdot 7^6.$$

б) Пусть $$u=25-9x,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

Тогда

$$y’=(\sqrt{u})’\cdot (25-9x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-9)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9x}}.$$

Следовательно,

$$y'(1)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9\cdot 1}}=-\frac{9}{2\sqrt{16}}=-\frac{9}{8}.$$

в) Пусть $$u=4-5x,$$ тогда $$y=u^7.$$

По правилу цепочки:

$$y’=(u^7)’\cdot (4-5x)’=7u^6\cdot (-5)=-35(4-5x)^6.$$

Тогда

$$y'(1)=-35(4-5\cdot 1)^6=-35\cdot (-1)^6=-35.$$

г) Пусть $$u=7x+4,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

Тогда

$$y’=(\sqrt{u})’\cdot (7x+4)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 7=\frac{7}{2\sqrt{7x+4}}.$$

Следовательно,

$$y'(3)=\frac{7}{2\sqrt{7\cdot 3+4}}=\frac{7}{2\sqrt{25}}=\frac{7}{10}.$$

Ответ

а) $$21\cdot 7^6$$; б) $$-\frac{9}{8}$$; в) $$-35$$; г) $$\frac{7}{10}$$.