Упр.42.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=\sqrt{1-x^2}+\cos^3 x$$; б) $$y=\frac{\sqrt{\tg x}}{x^2+1}$$; в) $$y=\sin^2 x\cdot\cos\sqrt{x}$$; г) $$y=\frac{\sqrt{\ctg x}}{x^3}$$.
Найдём производные по правилу дифференцирования суммы, произведения и частного.
$$y=\sqrt{1-x^2}+\cos^3 x$$
$$\left(\sqrt{1-x^2}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\left(\cos^3 x\right)’=3\cos^2 x\cdot(-\sin x)=-3\sin x\cos^2 x$$
Следовательно,
$$y’=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-3\sin x\cos^2 x.$$
$$y=\frac{\sqrt{\tg x}}{x^2+1}$$
Пусть $$u=\tg x,$$ тогда $$\sqrt{\tg x}=\sqrt{u}.$$
$$\left(\sqrt{\tg x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x}$$
По формуле производной частного:
$$y’=\frac{\left(\sqrt{\tg x}\right)'(x^2+1)-\sqrt{\tg x}\cdot(2x)}{(x^2+1)^2}$$
$$y’=\frac{\frac{x^2+1}{2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x}-2x\sqrt{\tg x}}{(x^2+1)^2}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y’=\frac{x^2+1-4x\,\tg x\,\cos^2 x}{2(x^2+1)^2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x}$$
Так как $$\tg x\cdot\cos^2 x=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x,$$ получаем
$$y’=\frac{x^2+1-2x\sin 2x}{2(x^2+1)^2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x}.$$
$$y=\sin^2 x\cdot\cos\sqrt{x}$$
По правилу произведения:
$$y’=(\sin^2 x)’\cos\sqrt{x}+\sin^2 x\cdot(\cos\sqrt{x})’$$
$$(\sin^2 x)’=2\sin x\cos x=\sin 2x$$
$$(\cos\sqrt{x})’=-\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Следовательно,
$$y’=\sin 2x\cdot\cos\sqrt{x}-\frac{\sin^2 x\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$
$$y=\frac{\sqrt{\ctg x}}{x^3}$$
Пусть $$u=\ctg x,$$ тогда $$\sqrt{\ctg x}=\sqrt{u}.$$
$$\left(\sqrt{\ctg x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}}\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}\,\sin^2 x}$$
По формуле производной частного:
$$y’=\frac{\left(\sqrt{\ctg x}\right)’x^3-\sqrt{\ctg x}\cdot 3x^2}{x^6}$$
$$y’=\frac{-\frac{x^3}{2\sqrt{\ctg x}\,\sin^2 x}-3x^2\sqrt{\ctg x}}{x^6}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y’=-\frac{x+6\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}{2x^4\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}.$$
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-3\sin x\cos^2 x;\\ &\text{б) } y’=\frac{x^2+1-2x\sin 2x}{2(x^2+1)^2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x};\\ &\text{в) } y’=\sin 2x\cdot\cos\sqrt{x}-\frac{\sin^2 x\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}};\\ &\text{г) } y’=-\frac{x+6\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}{2x^4\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}. \end{aligned}$$
