Упр.42.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\sin3x$$; б) $$y=\sqrt{\operatorname{ctg}x}$$; в) $$y=\operatorname{tg}5x$$; г) $$y=\operatorname{tg}(x+x3)$$.

Найдём производные по правилу цепочки.

1. $$y=\sin^3 x$$

   Пусть $$u=\sin x$$, тогда $$y=u^3$$.

   $$y’=(u^3)’\cdot(\sin x)’=3u^2\cos x=3\sin^2 x\cos x.$$

2. $$y=\sqrt{\operatorname{ctg} x}$$

   Пусть $$u=\operatorname{ctg} x$$, тогда $$y=\sqrt{u}$$.

   $$y’=(\sqrt{u})’\cdot(\operatorname{ctg} x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x}\,\sin^2 x}.$$

3. $$y=\operatorname{tg}^5 x$$

   Пусть $$u=\operatorname{tg} x$$, тогда $$y=u^5$$.

   $$y’=(u^5)’\cdot(\operatorname{tg} x)’=5u^4\cdot\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{5\operatorname{tg}^4 x}{\cos^2 x}.$$

4. $$y=\operatorname{tg}(x+x^3)$$

   Пусть $$u=x+x^3$$, тогда $$y=\operatorname{tg} u$$.

   $$y’=(\operatorname{tg} u)’\cdot(x+x^3)’=\frac{1}{\cos^2 u}\cdot(1+3x^2)=\frac{1+3x^2}{\cos^2(x+x^3)}.$$

Ответ:

$$y’=3\sin^2 x\cos x;$$
$$y’=-\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x}\,\sin^2 x};$$
$$y’=\frac{5\operatorname{tg}^4 x}{\cos^2 x};$$
$$y’=\frac{1+3x^2}{\cos^2(x+x^3)}.$$