Упр.42.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$y=(1-x^3)^5$$
2. $$y=\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}$$
3. $$y=\sqrt{\frac{1}{(x^2-7x+8)^2}}$$
4. $$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+5}}$$

Найдём производные функций по правилу цепочки.

1. $$y=(1-x^3)^5$$

   Пусть $$u=1-x^3,$$ тогда $$y=u^5.$$

   $$y’ = 5u^4 \cdot u’ = 5(1-x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(1-x^3)^4.$$

2. $$y=\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}$$

   Пусть $$u=x^3+3x^2-2x+1,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u’=\frac{1}{2\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}}\,(3x^2+6x-2).$$

   Следовательно,

   $$y’=\frac{3x^2+6x-2}{2\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}}.$$

3. $$y=\frac{1}{(x^2-7x+8)^2}$$

   Пусть $$u=x^2-7x+8,$$ тогда $$y=\frac{1}{u^2}=u^{-2}.$$

   $$y’=-2u^{-3}\cdot u’=-2(x^2-7x+8)^{-3}(2x-7).$$

   Итак,

   $$y’=\frac{14-4x}{(x^2-7x+8)^3}.$$

4. $$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+5}}$$

   Пусть $$u=\frac{x^2-1}{x^2+5},$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   Найдём $$u’$$ по формуле производной частного:

   $$u’=\frac{(x^2-1)'(x^2+5)-(x^2-1)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2}=\frac{2x(x^2+5)-2x(x^2-1)}{(x^2+5)^2}.$$

   $$u’=\frac{2x\bigl((x^2+5)-(x^2-1)\bigr)}{(x^2+5)^2}=\frac{12x}{(x^2+5)^2}.$$

   Тогда

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+5}}}\cdot \frac{12x}{(x^2+5)^2}.$$

   После упрощения получаем

   $$y’=\frac{6x}{(x^2+5)\sqrt{x^2+5}\sqrt{x^2-1}}.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=-15x^2(1-x^3)^4; \\ &\text{б) } y’=\frac{3x^2+6x-2}{2\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}}; \\ &\text{в) } y’=\frac{14-4x}{(x^2-7x+8)^3}; \\ &\text{г) } y’=\frac{6x}{(x^2+5)\sqrt{x^2+5}\sqrt{x^2-1}}. \end{aligned}$$