Упр.42.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\sin 3x\cos 5x+\cos 3x\sin 5x$$
• б) $$y=\cos 4x\cos 6x-\sin 4x\sin 6x$$
• в) $$y=\sin 7x\cos 3x-\cos 7x\sin 3x$$
• г) $$y=\cos\frac{x}{3}\cos\frac{x}{6}+\sin\frac{x}{3}\sin\frac{x}{6}$$

Используем формулы сложения:

$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta),$$

$$\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha-\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta).$$

Решение

1. $$y=\sin 3x\cos 5x+\cos 3x\sin 5x=\sin(3x+5x)=\sin 8x.$$

   Тогда

   $$y’=(\sin 8x)’=8\cos 8x.$$

2. $$y=\cos 4x\cos 6x-\sin 4x\sin 6x=\cos(4x+6x)=\cos 10x.$$

   Тогда

   $$y’=(\cos 10x)’=-10\sin 10x.$$

3. $$y=\sin 7x\cos 3x-\cos 7x\sin 3x=\sin(7x-3x)=\sin 4x.$$

   Тогда

   $$y’=(\sin 4x)’=4\cos 4x.$$

4. $$y=\cos \frac{x}{3}\cos \frac{x}{6}+\sin \frac{x}{3}\sin \frac{x}{6}=\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{x}{6}\right)=\cos \frac{x}{6}.$$

   Тогда

   $$y’=\left(\cos \frac{x}{6}\right)’=-\sin \frac{x}{6}\cdot \frac{1}{6}=-\frac{1}{6}\sin \frac{x}{6}.$$

Ответ

а) $$y’=8\cos 8x$$; б) $$y’=-10\sin 10x$$; в) $$y’=4\cos 4x$$; г) $$y’=-\frac{1}{6}\sin \frac{x}{6}$$.