Упр.42.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$\left(f'(x)\right)^2>1$$, если: а) $$f(x)=\arcsin 2x$$; б) $$f(x)=2\arccos\sqrt{x}$$.

а) $$f(x)=\arcsin 2x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(2x)’}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.$$

Тогда

$$\left(f'(x)\right)^2>1 \iff \frac{4}{1-4x^2}>1.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{4-(1-4x^2)}{1-4x^2}>0 \iff \frac{3+4x^2}{1-4x^2}>0.$$

Числитель всегда положителен, значит нужно, чтобы знаменатель был положительным:

$$1-4x^2>0 \iff x^2<\frac14 \iff -\frac12<x<\frac12.$$

б) $$f(x)=2\arccos \sqrt{x}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cdot \left(\arccos \sqrt{x}\right)’=2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}.$$

Тогда

$$\left(f'(x)\right)^2>1 \iff \frac{1}{x-x^2}>1.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{1-x+x^2}{x-x^2}>0.$$

Числитель всегда положителен, поэтому нужно, чтобы

$$x-x^2>0 \iff x(1-x)>0 \iff 0<x<1.$$

Ответ

а) $$-\frac12<x<\frac12$$; б) $$0<x<1$$.