Упр.42.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Решите уравнение $$f'(x)=2$$, если $$f(x)=\operatorname{arctg}(2x)$$.

б) Найдите те значения $$x$$, при которых выполняется равенство $$(f'(x))^2=\frac{1}{x}$$, где $$f(x)=2\arcsin\sqrt{x}$$.

а) $$f(x)=\arctg(2x), \quad f'(x)=2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\arctg(2x)\right)’=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2=\frac{2}{1+4x^2}.$$

Решим уравнение:

$$\frac{2}{1+4x^2}=2.$$

$$2=2(1+4x^2),$$

$$2=2+8x^2,$$

$$8x^2=0,$$

$$x=0.$$

б) $$f(x)=2\arcsin\sqrt{x}, \quad (f'(x))^2=\frac{1}{x}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\left(\arcsin\sqrt{x}\right)’=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}.$$

Тогда

$$\left(f'(x)\right)^2=\frac{1}{x(1-x)}.$$

По условию:

$$\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{x}.$$

Так как выражение имеет смысл при $$0<x<1,$$ умножим обе части на $$x(1-x):$$

$$1=1-x,$$

$$x=0.$$

Но $$x=0$$ не входит в область допустимых значений, значит решений нет.

Ответ

а) $$x=0$$; б) решений нет.