Упр.42.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $$y=h(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью $$x$$:
   а) $$h(x)=\arcsin(3x-2),\quad x_0=\frac{2}{3}$$;
   б) $$h(x)=\arcsin x\cdot\arccos x,\quad x_0=0$$.

Тангенс угла между касательной и осью $$x$$ равен значению производной в точке $$x_0$$:

$$\tg \alpha = h'(x_0).$$

а) $$h(x)=\arcsin(3x-2), \quad x_0=\frac{2}{3}.$$

Найдём производную:

$$h'(x)=\frac{(3x-2)’}{\sqrt{1-(3x-2)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-(3x-2)^2}}.$$

Подставим $$x_0=\frac{2}{3}$$:

$$h’\!\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{1-(3\cdot \frac{2}{3}-2)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-0}}=3.$$

б) $$h(x)=\arcsin x \cdot \arccos x, \quad x_0=0.$$

По правилу произведения:

$$h'(x)=(\arcsin x)’\cdot \arccos x+\arcsin x\cdot (\arccos x)’.$$

Так как

$$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$

то

$$h'(x)=\frac{\arccos x-\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Подставим $$x_0=0$$:

$$h'(0)=\frac{\arccos 0-\arcsin 0}{\sqrt{1-0^2}}=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{1}=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$.