Упр.42.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Вычислите скорость изменения функции $$y=g(x)$$ в точке $$x_0$$:

а) $$g(x)=\operatorname{arctg}(1-3x),\quad x_0=\frac{1}{3}$$;

б) $$g(x)=\arcsin\sqrt{x},\quad x_0=0{,}25$$;

в) $$g(x)=\arccos(2x-3),\quad x_0=1{,}5$$;

г) $$g(x)=\sqrt{\operatorname{arcctg}x},\quad x_0=0$$.

Подробный ответ

a) Пусть $$u=1-3x,$$ тогда $$g(x)=\arctg u.$$

Тогда

$$g'(x)=\frac{1}{1+u^2}\cdot u’=\frac{1}{1+(1-3x)^2}\cdot(-3)=-\frac{3}{1+(1-3x)^2}.$$

При $$x_0=\frac13$$ получаем:

$$g’\!\left(\frac13\right)=-\frac{3}{1+\left(1-3\cdot\frac13\right)^2}=-\frac{3}{1+0}=-3.$$

б) $$g(x)=\arcsin\sqrt{x}, \quad x_0=0{,}25.$$

Пусть $$u=\sqrt{x},$$ тогда $$g(x)=\arcsin u.$$

Тогда

$$g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot(\sqrt{x})’=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}.$$

При $$x_0=0{,}25=\frac14$$ имеем:

$$g’\!\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac14\left(1-\frac14\right)}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{16}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

в) $$g(x)=\arccos(2x-3), \quad x_0=1{,}5.$$

Пусть $$u=2x-3,$$ тогда $$g(x)=\arccos u.$$

Тогда

$$g'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=-\frac{1}{\sqrt{1-(2x-3)^2}}\cdot 2=-\frac{2}{\sqrt{1-(2x-3)^2}}.$$

При $$x_0=1{,}5$$:

$$g'(1{,}5)=-\frac{2}{\sqrt{1-(2\cdot1{,}5-3)^2}}=-\frac{2}{\sqrt{1-0}}=-2.$$

г) $$g(x)=\sqrt{\operatorname{arcctg}x}, \quad x_0=0.$$

Пусть $$u=\operatorname{arcctg}x,$$ тогда $$g(x)=\sqrt{u}.$$

Тогда

$$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u’=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arcctg}x}}\cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=-\frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\operatorname{arcctg}x}}.$$

При $$x_0=0$$:

$$g'(0)=-\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arcctg}0}}=-\frac{1}{2\sqrt{\frac{\pi}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.$$