Упр.42.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение производной функции в точке $$x_0$$:
   а) $$y=(\arccos x)^3,\quad x_0=0$$;
   б) $$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}},\quad x_0=-1$$;
   в) $$y=\arcsin\sqrt{x},\quad x_0=\frac{1}{2}$$;
   г) $$y=\arccos\frac{2-x}{x\sqrt{2}},\quad x_0=1$$.

Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.

1. $$y=(\arccos x)^3,\quad x_0=0.$$

   Пусть $$u=\arccos x,$$ тогда $$y=u^3.$$

   $$y’ = 3u^2 \cdot u’ = 3(\arccos x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

   $$y'(0)=-\frac{3(\arccos 0)^2}{\sqrt{1-0^2}}=-3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=-\frac{3\pi^2}{4}.$$

2. $$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}},\quad x_0=-1.$$

   Пусть $$u=\frac{2x+1}{\sqrt{3}},$$ тогда $$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg u.$$

   $$y’=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{1+u^2}\cdot u’=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3\left(1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}.$$

   $$y'(-1)=\frac{4}{3\left(1+\left(\frac{-2+1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}=\frac{4}{3\left(1+\frac{1}{3}\right)}=\frac{4}{4}=1.$$

3. $$y=\arcsin\sqrt{x},\quad x_0=\frac12.$$

   Пусть $$u=\sqrt{x},$$ тогда $$y=\arcsin u.$$

   $$y’=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}.$$

   $$y’\left(\frac12\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac12-\left(\frac12\right)^2}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac14}}=\frac{1}{2\cdot \frac12}=1.$$

4. $$y=\arccos\frac{2-x}{x\sqrt{2}},\quad x_0=1.$$

   Пусть $$u=\frac{2-x}{x\sqrt{2}},$$ тогда $$y=\arccos u.$$

   Найдём производную $$u$$:

   $$u’=\frac{(2-x)’ \cdot x\sqrt{2}-(2-x)\cdot (x\sqrt{2})’}{(x\sqrt{2})^2}=\frac{(-1)\cdot x\sqrt{2}-(2-x)\sqrt{2}}{2x^2}=-\frac{\sqrt{2}}{x^2}.$$

   Тогда

   $$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=\frac{\sqrt{2}}{x^2\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{x\sqrt{2}}\right)^2}}.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$y'(1)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{2-1}{1\cdot \sqrt{2}}\right)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\frac12}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac12}}=2.$$

Ответ: а) $$-\frac{3\pi^2}{4}$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$2$$.