Упр.42.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите производную функции: а) $$y=\arcsin 3x$$; б) $$y=\operatorname{arctg} x^2$$; в) $$y=(\arccos x)^3$$; г) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$.

Найдём производные, используя формулы:

$$\left(\arcsin u\right)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}, \qquad \left(\arctg u\right)’=\frac{u’}{1+u^2},$$

$$\left(\arccos u\right)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}, \qquad \left(\arcctg u\right)’=-\frac{u’}{1+u^2}.$$

1. $$y=\arcsin 3x.$$

   Пусть $$u=3x,$$ тогда $$y=\arcsin u.$$

   $$y’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}.$$

2. $$y=\arctg x^2.$$

   Пусть $$u=x^2,$$ тогда $$y=\arctg u.$$

   $$y’=\frac{u’}{1+u^2}=\frac{2x}{1+(x^2)^2}=\frac{2x}{1+x^4}.$$

3. $$y=\left(\arccos x\right)^3.$$

   Пусть $$u=\arccos x,$$ тогда $$y=u^3.$$

   $$y’=3u^2\cdot u’=3(\arccos x)^2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=-\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

4. $$y=\arcctg \sqrt{x}.$$

   Пусть $$u=\sqrt{x},$$ тогда $$y=\arcctg u.$$

   $$y’=-\frac{u’}{1+u^2}=-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}.$$

Ответ: $$y’=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}};\ \frac{2x}{1+x^4};\ -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}};\ -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}.$$