Упр.42.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём первообразные по правилу замены переменной.

а) $$f'(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Пусть $$u=3x-\frac{\pi}{3},$$ тогда $$du=3\,dx,$$ откуда $$dx=\frac{du}{3}.$$

Тогда

$$f(x)=\int \sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx=\frac13\int \sin u\,du=-\frac13\cos u+C.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$f(x)=-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C.$$

б) $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2(5x-1)}.$$

Пусть $$u=5x-1,$$ тогда $$du=5\,dx,$$ значит $$dx=\frac{du}{5}.$$

Тогда

$$f(x)=\int \frac{4}{\cos^2(5x-1)}\,dx=\frac45\int \frac{1}{\cos^2 u}\,du=\frac45\tan u+C.$$

Следовательно,

$$f(x)=\frac45\tan(5x-1)+C.$$

Ответ: а) $$-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C$$; б) $$\frac45\tan(5x-1)+C$$.