Упр.42.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известна производная функции $$y=f(x)$$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $$y=f(x)$$:
   а) $$f'(x)=6(2x-1)^2$$;
   б) $$f'(x)=-20(4-5x)^3$$.

Найдём первообразную для каждой заданной производной.

а) $$f'(x)=6(2x-1)^2.$$

Заметим, что $$\bigl(2x-1\bigr)^3{}’ = 3(2x-1)^2 \cdot 2 = 6(2x-1)^2.$$

Значит,

$$f(x)=(2x-1)^3+C.$$

б) $$f'(x)=-20(4-5x)^3.$$

Проверим производную функции $$\bigl(4-5x\bigr)^4$$:

$$\bigl(4-5x\bigr)^4{}’ = 4(4-5x)^3 \cdot (-5) = -20(4-5x)^3.$$

Следовательно,

$$f(x)=(4-5x)^4+C.$$

Ответ: а) $$f(x)=(2x-1)^3+C$$; б) $$f(x)=(4-5x)^4+C$$.