Упр.42.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $$y=h(x)$$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $$\alpha$$: а) $$h(x)=2\sqrt{2x-4}$$, $$\alpha=60^\circ$$; б) $$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$$, $$\alpha=0^\circ$$.

Найдём производную функции и приравняем её к угловому коэффициенту касательной, то есть к $$\tan \alpha.$$

а)

$$h(x)=2\sqrt{2x-5}, \qquad \alpha=60^\circ.$$

$$\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

$$h'(x)=2\cdot \left(\sqrt{2x-5}\right)’=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-5}}=\frac{2}{\sqrt{2x-5}}.$$

Приравниваем производную к $$\tan \alpha$$:

$$\frac{2}{\sqrt{2x-5}}=\sqrt{3}.$$

$$\sqrt{2x-5}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

$$2x-5=\frac{4}{3},$$

$$2x=\frac{19}{3}, \qquad x=\frac{19}{6}.$$

б)

$$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right), \qquad \alpha=0^\circ.$$

$$\tan 0^\circ=0.$$

$$h'(x)=\left(\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)\right)’=4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Тогда

$$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi n=\frac{5\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{19}{6};$$ б) $$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb{Z}.$$