Упр.42.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $$f(x)=g'(x)$$, если:

а) $$f(x)=\sin(2x-3),\quad g(x)=\cos(2x-3);$$

б) $$f(x)=\sqrt{3x-10},\quad g(x)=\sqrt{14+6x}.$$

Найдём производные и приравняем их.

а)

$$f(x)=\sin(2x-3), \qquad g(x)=\cos(2x-3).$$

Тогда

$$f'(x)=2\cos(2x-3), \qquad g'(x)=-2\sin(2x-3).$$

По условию $$f'(x)=g'(x)$$, значит

$$2\cos(2x-3)=-2\sin(2x-3).$$

Разделим на $$2$$:

$$\cos(2x-3)+\sin(2x-3)=0.$$

Тогда

$$\tg(2x-3)=-1,$$

откуда

$$2x-3=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{12-\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б)

$$f(x)=\sqrt{3x-10}, \qquad g(x)=\sqrt{14+6x}.$$

Область определения:

$$3x-10\ge 0,\qquad 14+6x\ge 0.$$

При $$x\ge \frac{10}{3}$$ обе функции определены.

Найдём производные:

$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}, \qquad g'(x)=\frac{6}{2\sqrt{14+6x}}=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}.$$

По условию $$f'(x)=g'(x)$$:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}.$$

Сократим на $$3$$ и перемножим крест-накрест:

$$\sqrt{14+6x}=2\sqrt{3x-10}.$$

Возведём в квадрат:

$$14+6x=4(3x-10).$$

$$14+6x=12x-40.$$

$$54=6x,$$

$$x=9.$$

Ответ: а) $$x=\frac{12-\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=9.$$