Упр.42.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Проверьте равенство $$g'(x)=f(x)$$, если:
   а) $$g(x)=(1-x^2)\sin x^2-\cos x^2$$, $$f(x)=2(x-x^3)\cos x^2$$;
   б) $$g(x)=(x^2-1{,}5)\cos 2x-x\sin 2x$$, $$f(x)=(2-2x^2)\sin 2x$$.

а) Найдём производную функции $$g(x)=(1-x^2)\sin x^2-\cos x^2.$$

По правилу произведения и цепному правилу:

$$g'(x)=(1-x^2)’\sin x^2+(1-x^2)(\sin x^2)’- (\cos x^2)’.$$

$$g'(x)=-2x\sin x^2+(1-x^2)\cdot 2x\cos x^2+2x\sin x^2.$$

Сократим подобные слагаемые:

$$g'(x)=2x(1-x^2)\cos x^2=2(x-x^3)\cos x^2.$$

Значит, $$g'(x)=f(x).$$ Тождество доказано.

б) Найдём производную функции $$g(x)=(x^2-1{,}5)\cos 2x-x\sin 2x.$$

$$g'(x)=(x^2-1{,}5)’\cos 2x+(x^2-1{,}5)(\cos 2x)’- (x\sin 2x)’.$$

$$g'(x)=2x\cos 2x+(x^2-1{,}5)(-2\sin 2x)-\sin 2x-2x\cos 2x.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$g'(x)=(-2x^2+3)\sin 2x-\sin 2x=(2-2x^2)\sin 2x.$$

Следовательно, $$g'(x)=f(x).$$ Тождество доказано.

Ответ: в обоих пунктах $$g'(x)=f(x).$$