Упр.42.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$f(x)=0$$, если:

а) $$f(x)=\sqrt{\cos 2x}$$;

б) $$f(x)=\tg^2 x$$;

в) $$f(x)=\sin^4 x$$;

г) $$f(x)=\cos^3 x-\sin^3 x$$.

Найдём производные и решим уравнения $$f'(x)=0$$.

1. $$f(x)=\sqrt{\cos 2x}$$

   Область определения: $$\cos 2x \ge 0.$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt{\cos 2x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}}\cdot(-2\sin 2x)=-\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}=0 \;\Longrightarrow\; \sin 2x=0.$$

   $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$f(x)=\tg^2 x$$

   Область определения: $$\cos x\ne 0.$$

   $$f'(x)=\left(\tg^2 x\right)’=2\tg x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{2\tg x}{\cos^2 x}.$$

   Тогда

   $$\frac{2\tg x}{\cos^2 x}=0 \;\Longrightarrow\; \tg x=0.$$

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$f(x)=\sin^4 x$$

   $$f'(x)=\left(\sin^4 x\right)’=4\sin^3 x\cos x=2\sin^2 x\sin 2x.$$

   Тогда

   $$2\sin^2 x\sin 2x=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

   Оба случая дают

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$f(x)=\cos^3 x-\sin^3 x$$

   $$f'(x)=\left(\cos^3 x\right)’-\left(\sin^3 x\right)’=-3\sin x\cos^2 x-3\cos x\sin^2 x.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$f'(x)=-3\sin x\cos x(\cos x+\sin x).$$

   Тогда

   $$-3\sin x\cos x(\cos x+\sin x)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=0.$$

   Получаем:

   $$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x=\frac{\pi n}{2}$$; б) $$x=\pi n$$; в) $$x=\frac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$