Упр.42.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Дано: $$f(x)=a\sin 2x+b\cos x$$, $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=2$$, $$f’\left(\frac{9\pi}{2}\right)=-4$$. Чему равны $$a$$ и $$b$$?
   б) Дано: $$f(x)=a\cos 2x+b\sin 4x$$, $$f’\left(\frac{7\pi}{12}\right)=4$$, $$f’\left(\frac{3\pi}{4}\right)=2$$. Чему равны $$a$$ и $$b$$?

а) Найдём производную:

$$f(x)=a\sin 2x+b\cos x$$

$$f'(x)=2a\cos 2x-b\sin x$$

Подставим данные значения:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=2a\cos\frac{\pi}{3}-b\sin\frac{\pi}{6}=a-\frac{b}{2}=2$$

$$f’\left(\frac{9\pi}{2}\right)=2a\cos 9\pi-b\sin\frac{9\pi}{2}=-2a-b=-4$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a-\frac{b}{2}=2,\\ -2a-b=-4. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a=2+\frac{b}{2}$$. Подставим во второе:

$$-2\left(2+\frac{b}{2}\right)-b=-4$$

$$-4-b-b=-4$$

$$-2b=0,\quad b=0$$

Тогда $$a=2$$.

б) Найдём производную:

$$f(x)=a\cos 2x+b\sin 4x$$

$$f'(x)=-2a\sin 2x+4b\cos 4x$$

Подставим данные значения:

$$f’\left(\frac{7\pi}{12}\right)=-2a\sin\frac{7\pi}{6}+4b\cos\frac{7\pi}{3}=a+2b=4$$

$$f’\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2a\sin\frac{3\pi}{2}+4b\cos 3\pi=2a-4b=2$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a+2b=4,\\ 2a-4b=2. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a=4-2b$$. Подставим во второе:

$$2(4-2b)-4b=2$$

$$8-4b-4b=2$$

$$-8b=-6,\quad b=\frac{3}{4}$$

Тогда

$$a=4-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2}$$

Ответ

а) $$a=2,\ b=0$$; б) $$a=\frac{5}{2},\ b=\frac{3}{4}$$.