Упр.42.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен $$0$$:
   а) $$f(x)=\operatorname{tg}^3 x$$;
   б) $$f(x)=\sin^2 x\cos 2x$$.

Найдём точки, в которых $$f'(x)=0$$.

а)

$$f(x)=\tg^3 x.$$

Положим $$u=\tg x$$. Тогда $$f(x)=u^3$$, и

$$f'(x)=3u^2\cdot u’ = 3\tg^2 x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3\tg^2 x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=0.$$

Так как $$\cos x\neq 0$$ в области определения функции, получаем

$$\tg x=0.$$

Отсюда

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$f(x)=\sin^2 x\cdot \cos 2x.$$

Обозначим $$u=\sin x$$, $$v=\cos 2x$$. Тогда

$$f(x)=u^2v.$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=(\sin^2 x)’\cos 2x+\sin^2 x\cdot (\cos 2x)’.$$

$$f'(x)=2\sin x\cos x\cdot \cos 2x+\sin^2 x\cdot (-2\sin 2x).$$

Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$, то

$$f'(x)=\sin 2x\cos 2x-2\sin^2 x\sin 2x.$$

Вынесем $$\sin 2x$$ за скобки:

$$f'(x)=\sin 2x\bigl(\cos 2x-2\sin^2 x\bigr).$$

Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$:

$$f'(x)=\sin 2x\bigl(\cos 2x-(1-\cos 2x)\bigr)=\sin 2x(2\cos 2x-1).$$

Теперь решаем уравнение

$$\sin 2x(2\cos 2x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z};$$
2. $$2\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};\quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$