Упр.42.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ равен а, если:
   а) $$f(x)=\sin x\cos x$$, $$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   б) $$f(x)=\cos^2 x$$, $$k=\frac{1}{2}$$.

а) Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin x\cos x$$

$$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

По условию угловой коэффициент касательной равен $$-\frac{\sqrt2}{2}$$, значит

$$\cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть

$$f(x)=\cos^2 x.$$

Тогда

$$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

По условию

$$-\sin 2x=\frac12,$$

то есть

$$\sin 2x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$