Упр.42 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1$$; б) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$$; в) $$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1$$; г) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}$$.
а) $$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1.$$
Перенесём корень в правую часть и возведём в квадрат:
$$2\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4}$$
$$4(x-1)=1+2\sqrt{x+4}+x+4$$
$$4x-4=x+5+2\sqrt{x+4}$$
$$3x-9=2\sqrt{x+4}$$
$$9x^2-54x+81=4(x+4)$$
$$9x^2-58x+65=0$$
$$D=58^2-4\cdot 9\cdot 65=1024$$
$$x_{1,2}=\frac{58\pm 32}{18}$$
$$x_1=\frac{13}{9},\quad x_2=5$$
Проверим область допустимых значений:
$$x-1\ge 0,\quad x+4\ge 0,\quad 3x-9\ge 0$$
Отсюда $$x\ge 3.$$ Подходит только $$x=5.$$
б) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}.$$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$\sqrt{x+3}= \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x-2}$$
$$x+3=2x-1+3x-2+2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$
$$-2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}=-4x+6$$
$$\sqrt{(2x-1)(3x-2)}=2x-3$$
$$6x^2-7x+2=4x^2-12x+9$$
$$2x^2+5x-7=0$$
$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 7=81$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}$$
$$x_1=-\frac{7}{2},\quad x_2=1$$
С учётом ОДЗ:
$$x+3\ge 0,\quad 2x-1\ge 0,\quad 3x-2\ge 0$$
получаем $$x\ge \frac{2}{3}.$$ Подходит только $$x=1.$$
в) $$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1.$$
Перенесём второй корень:
$$\sqrt{x+6}=2\sqrt{x-2}+1$$
$$x+6=4(x-2)+4\sqrt{x-2}+1$$
$$x+5=4x-7+4\sqrt{x-2}$$
$$12-3x=4\sqrt{x-2}$$
$$144-72x+9x^2=16(x-2)$$
$$9x^2-88x+176=0$$
$$D=88^2-4\cdot 9\cdot 176=1600$$
$$x_{1,2}=\frac{88\pm 40}{18}$$
$$x_1=\frac{8}{3},\quad x_2=7\frac{1}{9}$$
По ОДЗ:
$$x+6\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad 12-3x\ge 0$$
то есть $$2\le x\le 4.$$ Подходит только $$x=\frac{8}{3}.$$
г) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}.$$
Возведём в квадрат:
$$x+1-2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2=2x-5$$
$$-2\sqrt{x^2-x-2}=-4$$
$$\sqrt{x^2-x-2}=2$$
$$x^2-x-2=4$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=3$$
С учётом ОДЗ:
$$x+1\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad 2x-5\ge 0$$
получаем $$x\ge \frac{5}{2}.$$ Подходит только $$x=3.$$
Ответ
а) $$x=5$$; б) $$x=1$$; в) $$x=\frac{8}{3}$$; г) $$x=3$$.
