Упр.42.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=g(x)$$ больше скорости изменения функции $$y=h(x)$$:
   а) $$g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$, $$h(x)=6x-12$$;
   б) $$g(x)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)$$, $$h(x)=3-\sqrt{2}x$$.

а) $$g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right), \quad h(x)=6x-12.$$

Найдём производные:

$$g'(x)=3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right), \quad h'(x)=6.$$

Требуется, чтобы скорость изменения функции $$g(x)$$ была больше скорости изменения функции $$h(x)$$:

$$3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>6.$$

Тогда

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>2.$$

Но значение косинуса не может быть больше $$1$$, значит, таких значений $$x$$ не существует.

б) $$g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right), \quad h(x)=3-\sqrt{2}\,x.$$

Найдём производные:

$$g'(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right), \quad h'(x)=-\sqrt{2}.$$

Требуется:

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\sqrt{2}.$$

Делим на $$2$$:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значения синуса больше $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Решим двойное неравенство:

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<-2x<\pi+2\pi n$$

$$-\frac{\pi}{2}-2\pi n>2x>-\pi-2\pi n$$

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n

Ответ

а) таких значений не существует; б) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$