Упр.42.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=f(x)$$ равна скорости изменения функции $$y=g(x)$$:
   а) $$f(x)=\cos 2x,\quad g(x)=\sin x$$;
   б) $$f(x)=\sin дx,\quad g(x)=\cos 12x+4$$;
   в) $$f(x)=\frac{2}{3}\sin 3x,\quad g(x)=\cos 2x$$;
   г) $$f(x)=\sqrt{x^2-2x},\quad g(x)=2\sqrt{x}$$?

Найдём производные и приравняем их.

а)

$$f(x)=\cos 2x,\qquad g(x)=\sin x$$
$$f'(x)=-2\sin 2x,\qquad g'(x)=\cos x$$
$$-2\sin 2x=\cos x$$
$$-4\sin x\cos x=\cos x$$
$$\cos x(-4\sin x-1)=0$$

Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac14.$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б)

$$f(x)=\sin 6x,\qquad g(x)=\cos 12x+4$$
$$f'(x)=6\cos 6x,\qquad g'(x)=-12\sin 12x$$
$$6\cos 6x=-12\sin 12x$$
$$6\cos 6x+12\sin 12x=0$$
$$6\cos 6x+24\sin 6x\cos 6x=0$$
$$6\cos 6x(1+4\sin 6x)=0$$

Отсюда:
$$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 6x=-\frac14.$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{1}{6}\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z$$

в)

$$f(x)=\frac23\sin 3x,\qquad g(x)=\cos 2x$$
$$f'(x)=2\cos 3x,\qquad g'(x)=-2\sin 2x$$
$$2\cos 3x=-2\sin 2x$$
$$\cos 3x+\sin 2x=0$$
$$\cos 3x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
$$2\cos\frac{3x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}\cdot \cos\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
$$2\cos\frac{x+\frac{\pi}{2}}{2}\cdot \cos\frac{5x-\frac{\pi}{2}}{2}=0$$

Отсюда:
$$\cos\frac{x+\frac{\pi}{2}}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{5x-\frac{\pi}{2}}{2}=0.$$

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z$$

г)

$$f(x)=\sqrt{x^2-2x},\qquad g(x)=2\sqrt{x}$$
$$f'(x)=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}},\qquad g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Область определения:
$$x^2-2x\ge 0,\qquad x\ge 0$$
$$x(x-2)\ge 0,\qquad x\ge 0$$
$$x\ge 2.$$

При $$x\ge 2$$ можно умножить на положительные выражения:
$$x-1=\sqrt{x-2}$$
$$x^2-2x+1=x-2$$
$$x^2-3x+3=0.$$

$$D=9-12=-3<0,$$ значит, действительных решений нет.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\; x=(-1)^{n+1}\frac{1}{6}\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$
г) таких значений не существует.