Упр.42.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=(x-\sin x)^2,\quad x_0=\pi$$;
   б) $$y=\sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}},\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   в) $$y=\sqrt{(\sin x+1)\cos x},\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$;
   г) $$y=(\tan x-1)^4,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$.

Найдём производные функций и подставим заданные значения аргумента.

1. $$y=(x-\sin x)^2,\quad x_0=\pi$$

   Пусть $$u=x-\sin x,$$ тогда $$y=u^2.$$

   $$y’=2u\cdot u’=2(x-\sin x)(1-\cos x).$$

   Тогда

   $$y'(\pi)=2(\pi-\sin \pi)(1-\cos \pi)=2\pi\cdot 2=4\pi.$$

2. $$y=\sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}},\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$

   Пусть $$u=\frac{1-\sin x}{\cos x},$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}.$$

   Найдём $$u’$$:

   $$u’=\frac{(1-\sin x)’\cos x-(1-\sin x)(\cos x)’}{\cos^2 x}=\frac{-\cos^2 x+\sin x-\sin^2 x}{\cos^2 x}.$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то

   $$u’=\frac{\sin x-1}{\cos^2 x}=-\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{4}:$$

   $$u’\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-\left(2-\sqrt2\right),$$

   $$u\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=\sqrt2-1.$$

   Тогда

   $$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-\left(2-\sqrt2\right)}{2\sqrt{\sqrt2-1}}=-\frac12\sqrt{2\left(\sqrt2-1\right)}.$$

3. $$y=\sqrt{(\sin x+1)\cos x},\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$

   Пусть $$u=(\sin x+1)\cos x,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}.$$

   Найдём $$u’$$:

   $$u’=(\sin x+1)’\cos x+(\sin x+1)(\cos x)’=\cos^2 x-\sin x(\sin x+1).$$

   Следовательно,

   $$u’=\cos^2 x-\sin^2 x-\sin x=\cos 2x-\sin x.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{6}:$$

   $$u’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{6}=\frac12-\frac12=0.$$

   Значит,

   $$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

4. $$y=(\tg x-1)^4,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$

   Пусть $$u=\tg x-1,$$ тогда $$y=u^4.$$

   $$y’=4u^3\cdot u’=4(\tg x-1)^3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{4(\tg x-1)^3}{\cos^2 x}.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{4}:$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4(\tg \frac{\pi}{4}-1)^3}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}=\frac{4(1-1)^3}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=0.$$

Ответ

а) $$4\pi$$; б) $$-\frac12\sqrt{2(\sqrt2-1)}$$; в) $$0$$; г) $$0$$.