Упр.42.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$y=\sqrt{4x^2-20x+25},\quad x_0=3$$; б) $$y=\sqrt{\sin^2 x-2\sin x+1},\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$; в) $$y=\sqrt{1-10x+25x^2},\quad x_0=1$$; г) $$y=\sqrt{1-\cos x+\frac{1}{4}\cos^2 x},\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{4x^2-20x+25},\quad x_0=3.$$

Пусть $$u=4x^2-20x+25,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

Тогда

$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{8x-20}{2\sqrt{4x^2-20x+25}}.$$

Подставим $$x_0=3$$:

$$y'(3)=\frac{8\cdot 3-20}{2\sqrt{4\cdot 3^2-20\cdot 3+25}}=\frac{4}{2\sqrt{1}}=2.$$

б) $$y=\sqrt{\sin^2 x-2\sin x+1},\quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

Заметим, что

$$\sin^2 x-2\sin x+1=(\sin x-1)^2,$$

поэтому

$$y=\sqrt{(\sin x-1)^2}=|\sin x-1|.$$

Так как $$\sin x\le 1,$$ то $$|\sin x-1|=1-\sin x,$$ и значит

$$y’=-(\sin x)’=-\cos x.$$

Тогда

$$y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12.$$

в) $$y=\sqrt{1-10x+25x^2},\quad x_0=1.$$

Имеем

$$1-10x+25x^2=(5x-1)^2,$$

следовательно

$$y=\sqrt{(5x-1)^2}=|5x-1|.$$

При $$x=1$$ получаем $$5x-1>0,$$ значит в окрестности точки $$x_0=1$$

$$y=5x-1,$$ откуда

$$y’=5.$$

Следовательно, $$y'(1)=5.$$

г) $$y=\sqrt{1-\cos x+\frac14\cos^2 x},\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

Пусть $$u=\cos x,$$ тогда

$$y=\sqrt{1-u+\frac14u^2}.$$

Обозначим $$z=1-u+\frac14u^2.$$ Тогда

$$z’=\left(1-u+\frac14u^2\right)’=(-1+\frac12u)u’=\left(-1+\frac12\cos x\right)(-\sin x).$$

Значит,

$$y’=\frac{z’}{2\sqrt{z}}=\frac{\sin x\left(1-\frac12\cos x\right)}{2\sqrt{1-\cos x+\frac14\cos^2 x}}.$$

Подставим $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:

$$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\frac{\sqrt2}{2}\left(1-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)}{2\sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}+\frac14\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}}=\frac{\sqrt2}{4}.$$