Упр.42.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\operatorname{tg}^3 x,\quad x_0=\frac{\pi}{4};$$
   б) $$y=\sin\sqrt{x},\quad x_0=\frac{\pi^2}{36};$$
   в) $$y=\cos x^3,\quad x_0=0;$$
   г) $$y=\operatorname{ctg}^2 x-1,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

Найдём производные и вычислим их значения в указанных точках.

1. $$y=\tg^3 x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   Пусть $$u=\tg x,$$ тогда $$y=u^3.$$

   $$y’=(u^3)’ \cdot (\tg x)’=3u^2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=3\tg^2 x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=3\cdot \tg^2\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}}=3\cdot 1^2\cdot \frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=3\cdot 2=6.$$

2. $$y=\sin\sqrt{x},\quad x_0=\frac{\pi^2}{36}.$$

   Пусть $$u=\sqrt{x},$$ тогда $$y=\sin u.$$

   $$y’=(\sin u)’\cdot (\sqrt{x})’=\cos u\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi^2}{36}\right)=\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{2\cdot \frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\pi}{3}}=\frac{3\sqrt3}{2\pi}.$$

3. $$y=\cos x^3,\quad x_0=0.$$

   Пусть $$u=x^3,$$ тогда $$y=\cos u.$$

   $$y’=(\cos u)’\cdot (x^3)’=-\sin u\cdot 3x^2=-3x^2\sin x^3.$$

   $$y'(0)=-3\cdot 0^2\cdot \sin 0=0.$$

4. $$y=\ctg^2 x-1,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   Пусть $$u=\ctg x,$$ тогда $$y=u^2-1.$$

   $$y’=(u^2)’- (1)’=2u\cdot (\ctg x)’=2\ctg x\cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{2\ctg x}{\sin^2 x}.$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2\ctg\frac{\pi}{4}}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-\frac{2\cdot 1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-4.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$\frac{3\sqrt3}{2\pi}$$; в) $$0$$; г) $$-4$$.