Упр.42.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=(x^2-3x+1)^7,\quad x_0=1$$; б) $$y=\sqrt{\frac{x+1}{x+4}},\quad x_0=0$$; в) $$y=\sqrt{(x-1)(x-4)},\quad x_0=0$$; г) $$y=\left(\frac{x^2+1}{x^2+1}\right)^3,\quad x_0=1$$.

Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.

1. $$y=(x^2-3x+1)^7,\quad x_0=1$$

   Пусть $$u=x^2-3x+1,$$ тогда $$y=u^7.$$

   $$y’ = 7u^6\cdot u’ = 7(x^2-3x+1)^6(2x-3).$$

   $$y'(1)=7(1-3+1)^6(2-3)=7\cdot(-1)^6\cdot(-1)=-7.$$

2. $$y=\sqrt{\frac{x+1}{x+4}},\quad x_0=0$$

   Пусть $$u=\frac{x+1}{x+4},$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$u’=\frac{(x+1)'(x+4)-(x+1)(x+4)’}{(x+4)^2}=\frac{(x+4)-(x+1)}{(x+4)^2}=\frac{3}{(x+4)^2}.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u’=\frac{3}{2\sqrt{\frac{x+1}{x+4}}(x+4)^2}.$$

   $$y'(0)=\frac{3}{2\sqrt{\frac{0+1}{0+4}}\cdot 4^2}=\frac{3}{2\cdot \frac12 \cdot 16}=\frac{3}{16}.$$

3. $$y=\sqrt{(x-1)(x-4)},\quad x_0=0$$

   Сначала упростим подкоренное выражение:

   $$y=\sqrt{x^2-5x+4}.$$

   Пусть $$u=x^2-5x+4,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u’=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+4}}.$$

   $$y'(0)=\frac{2\cdot 0-5}{2\sqrt{0^2-5\cdot 0+4}}=\frac{-5}{2\cdot 2}=-\frac54.$$

4. $$y=\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)^3,\quad x_0=1$$

   Пусть $$u=\frac{x^2+1}{x^2+3},$$ тогда $$y=u^3.$$

   $$u’=\frac{(x^2+1)'(x^2+3)-(x^2+1)(x^2+3)’}{(x^2+3)^2}$$
   $$=\frac{2x(x^2+3)-2x(x^2+1)}{(x^2+3)^2}=\frac{4x}{(x^2+3)^2}.$$

   $$y’=3u^2\cdot u’ = 3\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)^2\cdot \frac{4x}{(x^2+3)^2} =\frac{12x(x^2+1)^2}{(x^2+3)^4}.$$

   $$y'(1)=\frac{12\cdot 1\cdot (1^2+1)^2}{(1^2+3)^4} =\frac{12\cdot 4}{4^4} =\frac{48}{256} =\frac{3}{16}.$$

Ответ: а) $$-7$$; б) $$\frac{3}{16}$$; в) $$-\frac54$$; г) $$\frac{3}{16}$$.