Упр.42.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right),\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$; б) $$y=\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}-x\right),\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$; в) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{3}-4x\right),\quad x_0=\frac{\pi}{8}$$; г) $$y=\operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right),\quad x_0=\frac{\pi}{12}$$.

Найдём производные функций и подставим заданные значения аргумента.

1. $$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \quad x_0=\frac{\pi}{6}$$

   Пусть $$u=2x-\frac{\pi}{3}$$, тогда $$y=\sin u$$.

   $$y’=(\sin u)’\cdot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)’=\cos u\cdot 2=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos 0=2$$

2. $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{3}-x\right), \quad x_0=\frac{\pi}{6}$$

   Пусть $$u=\frac{\pi}{3}-x$$, тогда $$y=\ctg u$$.

   $$y’=(\ctg u)’\cdot\left(\frac{\pi}{3}-x\right)’=-\frac{1}{\sin^2 u}\cdot(-1)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\left(\frac12\right)^2}=4$$

3. $$y=\cos\left(\frac{\pi}{3}-4x\right), \quad x_0=\frac{\pi}{8}$$

   Пусть $$u=\frac{\pi}{3}-4x$$, тогда $$y=\cos u$$.

   $$y’=(\cos u)’\cdot\left(\frac{\pi}{3}-4x\right)’=-\sin u\cdot(-4)=4\sin\left(\frac{\pi}{3}-4x\right)$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{8}\right)=4\sin\left(\frac{\pi}{3}-4\cdot\frac{\pi}{8}\right)=4\sin\left(\frac{2\pi-3\pi}{6}\right)=4\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=4\cdot\left(-\frac12\right)=-2$$

4. $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right), \quad x_0=\frac{\pi}{12}$$

   Пусть $$u=3x-\frac{\pi}{4}$$, тогда $$y=\tg u$$.

   $$y’=(\tg u)’\cdot\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)’=\frac{1}{\cos^2 u}\cdot 3=\frac{3}{\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3}{\cos^2\left(3\cdot\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{3}{\cos^2 0}=3$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$-2$$; г) $$3$$.