Упр.42.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите производную функции:

а) $$y=(4x-9)^7$$; б) $$y=\left(12-\frac{x}{5}\right)^6$$; в) $$y=\left(\frac{x}{3}+2\right)^{12}$$; г) $$y=(15-9x)^{13}$$.

Используем правило производной сложной функции: если $$y=u^n,$$ то $$y’=nu^{n-1}\cdot u’.$$

1. $$y=(4x-9)^7$$

   Пусть $$u=4x-9,$$ тогда $$y=u^7.$$

   $$y’=7u^6\cdot u’=7(4x-9)^6\cdot 4=28(4x-9)^6.$$

2. $$y=\left(12-\frac{x}{5}\right)^6$$

   Пусть $$u=12-\frac{x}{5},$$ тогда $$y=u^6.$$

   $$y’=6u^5\cdot u’=6\left(12-\frac{x}{5}\right)^5\cdot\left(-\frac15\right)=-\frac65\left(12-\frac{x}{5}\right)^5.$$

3. $$y=\left(\frac{x}{3}+2\right)^{12}$$

   Пусть $$u=\frac{x}{3}+2,$$ тогда $$y=u^{12}.$$

   $$y’=12u^{11}\cdot u’=12\left(\frac{x}{3}+2\right)^{11}\cdot\frac13=4\left(\frac{x}{3}+2\right)^{11}.$$

4. $$y=(15-9x)^{13}$$

   Пусть $$u=15-9x,$$ тогда $$y=u^{13}.$$

   $$y’=13u^{12}\cdot u’=13(15-9x)^{12}\cdot(-9)=-117(15-9x)^{12}.$$

Ответ: $$y’=28(4x-9)^6;\quad y’=-\frac65\left(12-\frac{x}{5}\right)^5;\quad y’=4\left(\frac{x}{3}+2\right)^{11};\quad y’=-117(15-9x)^{12}.$$