Упр.41.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) При каких значениях параметра $$a$$ касательные к графику функции $$y=4x^2-|a|x$$, проведённые в точках его пересечения с осью $$x$$, образуют между собой угол $$60^\circ$$?
б) При каких значениях параметра $$a$$ касательные к графику функции $$y=x^2+|a|x$$, проведённые в точках его пересечения с осью $$x$$, образуют между собой угол $$45^\circ$$?
Рассмотрим общий приём: если касательные к параболе проведены в точках пересечения с осью $$x$$, то эти точки имеют равные по модулю абсциссы, а углы касательных с положительным направлением оси $$x$$ связаны с углом между касательными.
а) $$y=4x^2-|a|x,\ \varphi=60^\circ$$
Найдём точки пересечения графика с осью $$x$$:
$$4x^2-|a|x=0$$
$$x(4x-|a|)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{|a|}{4}.$$
Производная:
$$y’=8x-|a|.$$
У точки $$x=0$$ угловой коэффициент касательной равен
$$k_1=y'(0)=-|a|.$$
Если угол между касательными острый, то угол, который одна из них образует с осью $$x$$, равен
$$90^\circ+\frac{60^\circ}{2}=120^\circ,$$
поэтому
$$-\,|a|=\tan 120^\circ=-\sqrt{3},$$
откуда
$$|a|=\sqrt{3}, \quad a=\pm \sqrt{3}.$$
Если угол между касательными тупой, то соответствующий угол с осью $$x$$ равен
$$90^\circ+\frac{120^\circ}{2}=150^\circ,$$
и тогда
$$-\,|a|=\tan 150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$
следовательно,
$$|a|=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad a=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
б) $$y=x^2+|a|x,\ \varphi=45^\circ$$
Найдём точки пересечения с осью $$x$$:
$$x^2+|a|x=0$$
$$x(x+|a|)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-|a|.$$
Производная:
$$y’=2x+|a|.$$
У точки $$x=0$$ угловой коэффициент касательной равен
$$k_1=y'(0)=|a|.$$
Если угол между касательными острый, то угол с осью $$x$$ равен
$$90^\circ-\frac{45^\circ}{2}=67{,}5^\circ,$$
поэтому
$$|a|=\tan 67{,}5^\circ=\sqrt{2}+1,$$
то есть
$$a=\pm(\sqrt{2}+1).$$
Если угол между касательными тупой, то угол с осью $$x$$ равен
$$90^\circ-\frac{135^\circ}{2}=22{,}5^\circ,$$
и тогда
$$|a|=\tan 22{,}5^\circ=\sqrt{2}-1,$$
следовательно,
$$a=\pm(\sqrt{2}-1).$$
Ответ
а) $$a=\pm \sqrt{3}$$ или $$a=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$; б) $$a=\pm(\sqrt{2}+1)$$ или $$a=\pm(\sqrt{2}-1).$$
