Упр.41.69 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и Б, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 15°. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 91).

Пусть профиль моста задаётся параболой вида $$y=ax^2+c.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ находятся на расстоянии $$200$$ м и расположены симметрично относительно начала координат, то их координаты:

$$A(-100;0), \quad B(100;0).$$

Производная функции:

$$y’=2ax.$$

Касательная в точке $$A$$ образует с горизонтом угол $$15^\circ$$, значит её угловой коэффициент равен $$\tg 15^\circ$$. Тогда

$$y'(-100)=\tg 15^\circ,$$

$$2a\cdot(-100)=\tg 15^\circ,$$

$$a=-\frac{\tg 15^\circ}{200}.$$

Теперь подставим координаты точки $$B(100;0)$$ в уравнение параболы:

$$0=a\cdot 100^2+c,$$

$$0=10000a+c,$$

$$c=-10000a=50\tg 15^\circ.$$

Следовательно, уравнение профиля моста:

$$y=-\frac{\tg 15^\circ}{200}x^2+50\tg 15^\circ=\tg 15^\circ\left(50-\frac{x^2}{200}\right).$$

Ответ: $$y=\tg 15^\circ\left(50-\frac{x^2}{200}\right).$$