Упр.41.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При каких значениях $$x$$ верно равенство $$y»+y’-y=0$$, если $$y=3\cos x$$?

б) При каких значениях $$x$$ верно равенство $$(y»)^2+2y’=y^2+1$$, если $$y=\sin x$$?

а) $$y=3\cos x$$

Тогда

$$y’=-3\sin x,\qquad y»=-3\cos x.$$

Подставим в уравнение $$y»+y’-y=0$$:

$$-3\cos x-3\sin x-3\cos x=0,$$

$$-6\cos x-3\sin x=0,$$

$$2\cos x+\sin x=0.$$

Разделим на $$\cos x$$:

$$2+\tg x=0,$$

$$\tg x=-2.$$

Отсюда

$$x=\arctg(-2)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=\sin x$$

Тогда

$$y’=\cos x,\qquad y»=-\sin x,$$

и

$$\left(y»\right)^2=\sin^2 x.$$

Подставим в уравнение $$\left(y»\right)^2+2y’=y^2+1$$:

$$\sin^2 x+2\cos x=\sin^2 x+1,$$

$$2\cos x=1,$$

$$\cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\arctg(-2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$