Упр.41.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ и $$b$$ функция

$$y= \begin{cases} \dfrac{x^2+3}{4}, & \text{если } x\leq -1,\\ ax^3+bx, & \text{если } x>-1 \end{cases}$$

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Для непрерывности и дифференцируемости в точке $$x=-1$$ нужно, чтобы левая и правая части функции совпадали в этой точке, а для дифференцируемости — ещё и их производные.

а) Непрерывность

Найдём значения функции в точке $$x=-1$$:

$$\frac{(-1)^2+3}{4}=\frac{1+3}{4}=1,$$
$$a(-1)^3+b(-1)=-a-b.$$

Для непрерывности должно выполняться равенство:

$$-a-b=1,$$
откуда
$$a+b=-1.$$

б) Дифференцируемость

Найдём производные обеих частей:

$$\left(\frac{x^2+3}{4}\right)’=\frac{1}{4}\cdot 2x=\frac{x}{2},$$
$$(ax^3+bx)’=3ax^2+b.$$

В точке $$x=-1$$ производные должны быть равны:

$$\frac{-1}{2}=3a(-1)^2+b=3a+b.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a+b=-1,\\ 3a+b=-\frac{1}{2}. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2a=\frac{1}{2}, \qquad a=\frac{1}{4}.$$

Тогда

$$b=-1-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}.$$

Ответ

а) $$a+b=-1$$; б) $$a=\frac{1}{4},\ b=-\frac{5}{4}$$.