Упр.41.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ и $$b$$ функция

$$y=\begin{cases}2x-3, & \text{если } x\leqslant 1,\\ x^2+ax+b, & \text{если } x>1\end{cases}$$

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Функция задана так:

$$y=\begin{cases} 2x-3, & x\le 1,\\ x^2+ax+b, & x>1. \end{cases}$$

Чтобы функция была непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, достаточно проверить точку стыка $$x=1$$.

а) Непрерывность

Найдём значения обеих частей в точке $$x=1$$:

$$y(1)=2\cdot 1-3=-1,$$

$$\lim_{x\to 1+}(x^2+ax+b)=1+a+b.$$

Для непрерывности нужно, чтобы эти значения совпадали:

$$1+a+b=-1,$$

откуда

$$a+b=-2.$$

б) Дифференцируемость

Найдём производные на каждом промежутке:

$$(2x-3)’=2,$$

$$(x^2+ax+b)’=2x+a.$$

В точке $$x=1$$ производные должны совпадать:

$$2=2\cdot 1+a,$$

откуда

$$a=0.$$

Тогда из условия непрерывности $$a+b=-2$$ получаем:

$$b=-2.$$

Ответ: а) $$a+b=-2$$; б) $$a=0,\ b=-2$$.