Упр.41.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) При каких значениях $$x$$ верно равенство $$y’\cdot y+y^2=0$$, если $$y=2\sin x$$? б) При каких значениях $$x$$ верно равенство $$y^2+(y’)^2=1$$, если $$y=\sqrt{x}$$?

а) $$y=2\sin x$$

Тогда

$$y’=2\cos x,$$

$$y^2=4\sin^2 x.$$

Подставим в уравнение $$y’y+y^2=0$$:

$$2\cos x\cdot 2\sin x+4\sin^2 x=0,$$

$$4\sin x(\cos x+\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x+\sin x=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$

Но значения $$x=\pi n$$ уже входят в общий ответ, поэтому окончательно:

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=\sqrt{x}, \quad x>0.$$

Тогда

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$

$$y^2=x,$$

$$\left(y’\right)^2=\frac{1}{4x}.$$

Подставим в уравнение $$y^2+\left(y’\right)^2=1$$:

$$x+\frac{1}{4x}=1.$$

Умножим на $$4x$$:

$$4x^2+1=4x,$$

$$4x^2-4x+1=0,$$

$$\left(2x-1\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$x=\frac12.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac12$$.