Упр.41.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Задайте аналитически функцию $$y=f(x)$$, если графиком её производной является: а) парабола (рис. 100); б) ломаная (рис. 104).
а) Пусть $$y’=ax^2+bx+c.$$
Вершина параболы находится в точке $$\left(0;\,-3\right),$$ значит
$$c=-3.$$
Парабола проходит через точки $$\left(2;\,1\right)$$ и $$\left(-2;\,1\right).$$ Тогда
$$\begin{aligned} 1&=4a+2b-3,\\ 1&=4a-2b-3. \end{aligned}$$
Отсюда
$$\begin{aligned} 4a+2b&=4,\\ 4a-2b&=4. \end{aligned}$$
Складываем уравнения:
$$8a=8,\qquad a=1.$$
Тогда
$$4\cdot 1+2b=4,\qquad b=0.$$
Следовательно,
$$y’=x^2-3.$$
Интегрируя, получаем
$$y=\frac{x^3}{3}-3x+C.$$
б) Пусть график производной — ломаная, тогда на каждом промежутке $$y’ = kx+b.$$
1) При $$x<-2{,}5$$ прямая проходит через точки $$(-3;\,2)$$ и $$(-2{,}5;\,1).$$
$$\begin{aligned} 2&=-3k+b,\\ 1&=-2{,}5k+b. \end{aligned}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$1=-0{,}5k,\qquad k=-2.$$
Тогда
$$2=6+b,\qquad b=-4.$$
Значит,
$$y’=-2x-4,$$
и потому
$$y=-x^2-4x+C.$$
2) При $$-2{,}5<x<1$$ прямая проходит через точки $$(-2{,}5;\,1)$$ и $$\left(1;\,2\right).$$
$$\begin{aligned} 1&=-2{,}5k+b,\\ 2&=k+b. \end{aligned}$$
Вычитаем первое уравнение из второго:
$$1=3{,}5k,\qquad k=\frac{2}{7}.$$
Тогда
$$2=\frac{2}{7}+b,\qquad b=\frac{12}{7}.$$
Следовательно,
$$y’=\frac{2}{7}x+\frac{12}{7},$$
и
$$y=\frac{x^2+12x}{7}+C.$$
3) При $$x>1$$ прямая проходит через точки $$\left(1;\,2\right)$$ и $$\left(4;\,0\right).$$
$$\begin{aligned} 2&=k+b,\\ 0&=4k+b. \end{aligned}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$2=-3k,\qquad k=-\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$2=-\frac{2}{3}+b,\qquad b=\frac{8}{3}.$$
Значит,
$$y’=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3},$$
и
$$y=-\frac{x^2}{3}+\frac{8x}{3}+C.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} -x^2-4x+C, & x<-2{,}5,\\[4pt] \dfrac{x^2+12x}{7}+C, & -2{,}5<x<1,\\[8pt] -\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{8x}{3}+C, & x>1. \end{cases}$$
Ответ
а) $$y=\dfrac{x^3}{3}-3x+C.$$
б) $$y= \begin{cases} -x^2-4x+C, & x<-2{,}5,\\[4pt] \dfrac{x^2+12x}{7}+C, & -2{,}5<x<1,\\[8pt] -\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{8x}{3}+C, & x>1. \end{cases}$$
