Упр.41.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известна производная функции $$y=f(x)$$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $$y=f(x)$$, если:
   а) $$f'(x)=3x^2+2x$$;
   б) $$f'(x)=-\frac{7}{x^2}$$;
   в) $$f'(x)=5x^4-1$$;
   г) $$f'(x)=\frac{9}{2\sqrt{x}}$$.

Используем правило: если $$f'(x)$$ известна, то функция $$f(x)$$ находится как первообразная, то есть с точностью до постоянной $$C$$.

1. $$f'(x)=3x^2+2x$$

   Тогда

   $$f(x)=\int (3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C.$$

2. $$f'(x)=-\frac{7}{x^2}$$

   Тогда

   $$f(x)=\int -\frac{7}{x^2}\,dx=\int -7x^{-2}\,dx=\frac{7}{x}+C.$$

3. $$f'(x)=5x^4-1$$

   Тогда

   $$f(x)=\int (5x^4-1)\,dx=x^5-x+C.$$

4. $$f'(x)=\frac{9}{2\sqrt{x}}$$

   Тогда

   $$f(x)=\int \frac{9}{2\sqrt{x}}\,dx=\int \frac{9}{2}x^{-1/2}\,dx=9\sqrt{x}+C.$$

Ответ: а) $$f(x)=x^3+x^2+C$$; б) $$f(x)=\frac{7}{x}+C$$; в) $$f(x)=x^5-x+C$$; г) $$f(x)=9\sqrt{x}+C$$.